Il Pozzo di San Patrizio a Orvieto e il legame della sezione aurea e la sequenza di Fibonacci

Il pozzo di San Patrizio a Orvieto, in Umbria, fu costruito da Antonio da Sangallo intorno al 1530. Dietro la sua costruzione, potrebbe nascondersi la sequenza di Fibonacci, o più precisamente la sezione aurea. È questa la dichiarazione di Luciano Cencioni, medico appassionato di storia che, attraverso dei calcoli, ha notato la presenza di una corrispondenza tra l'ingegneria del pozzo e una successione numerica simile alla sequenza di Fibonacci, cioè una delle più stupefacenti strutture matematiche che conosciamo che, partendo da 0 e 1, costruisce una successione di numeri in cui ogni numero è dato dalla somma dei due precedenti.

Vediamo in questo articolo perché è più corretto parlare di sezione aurea e non si sequenza di Fibonacci, secondo quali calcoli il pozzo di San Patrizio può essere considerato associabile a una delle costanti matematiche più famose del mondo e perché potrebbe trattarsi di una semplice coincidenza.

Il pozzo di San Patrizio e la sezione aurea: qual è il collegamento?

Sono di questi giorni le dichiarazioni di Luciano Cencioni, medico appassionato di storia che ha studiato le proporzioni del Pozzo di San Patrizio, secondo cui il famoso pozzo di Orvieto non è solo un'incredibile opera di ingegneria rinascimentale, ma anche un'opera "armonicamente perfetta". Questo perché, secondo i calcoli di Cencioni, ci sarebbe un legame tra le proporzioni del pozzo e la sezione aurea, anche detta costante di Fidia φ. Si tratta di una costante matematica pari a circa 1,618 e corrisponde al rapporto tra due lunghezze necessario affinché la lunghezza minore stia a quella maggiore come quella maggiore sta alla somma delle due lunghezze.

Detta così, potrebbe sembrare un rapporto qualsiasi, ma si tratta invece di una delle costanti più importanti in matematica, ma anche in architettura, nell'arte e… in natura! Insomma, la sezione aurea è spesso considerata un sinonimo di armonia delle proporzioni.

Il rapporto tra i diametri del pozzo è uguale a 1+φ

Il calcolo di Cencioni è stato il seguente:

Se prendiamo il diametro del cilindro interno, pari a 4,65 metri, e lo moltiplichiamo per la costante di Fidia φ (1,618), otteniamo circa 7,5 metri. Sommando questo valore al diametro interno, arriviamo a 12,17 metri, praticamente quello del cilindro esterno, che è di 12,20 metri e questo dimostra che la proporzione aurea è presente nel progetto del Pozzo, anche se probabilmente in modo inconscio da parte del Sangallo (autore del pozzo).

Cerchiamo di capire in poche parole quello che abbiamo appena letto e qual è il ruolo della sezione aurea (o costante di Fidia). Iniziamo con una premessa: il pozzo di San Patrizio è di forma cilindrica cava, come spesso accade per i pozzi e come potete vedere nell'immagine qui sotto. Questo significa che esiste un diametro interno e un diametro esterno del cilindro che compone il pozzo, la cui differenza di dimensioni determina lo spessore delle "mura".

Secondo i calcoli, il diametro esterno (12,20 metri) può essere ottenuto moltiplicando il diametro interno (4,65 metri) per una costante uguale a 1+φ, cioè "1 + sezione aurea" ovvero circa 2,618. Rileggendo le dichiarazioni di Cencioni possiamo tradurle in “matematichese” come segue: se chiamiamo d_i il diametro interno (uguale a 4,65 metri) e d_e quello esterno (uguale a 12,20 metri), abbiamo che:

Questa proporzione ci fa pensare che anche se è presente effettivamente la sezione aurea nel rapporto tra i due diametri, non siamo davanti a una proporzione aurea perché la costante di moltiplicazione non è effettivamente la costante di Fidia φ. Come dice lo stesso Cencioni nelle sue dichiarazioni, si può dire che le proporzioni architettoniche del pozzo di San Patrizio siano casualmente, più che volutamente, collegate alla sezione aurea.

Che cosa c'entra la sequenza di Fibonacci con il pozzo di San Patrizio?

Nelle dichiarazioni, però, è stata frequentemente citata la sequenza di Fibonacci, che è effettivamente legata a doppio filo con la sezione aurea. Si tratta di una successione di numeri che, partendo da 0 e 1, è costruita in modo che ogni numero della sequenza sia dato dalla somma dei due numeri precedenti. Quindi, per intenderci, partiamo con 0 e 1, poi abbiamo ancora 1 (=0+1), poi 2 (=1+1), 3 (=1+2), 5 (=2+3), 8 (=3+5), 13 (=5+8), 21 (=8+13) e così via. Grazie a Keplero sappiamo oggi che il rapporto tra due termini successivi della sequenza di Fibonacci tende all'infinito proprio alla sezione aurea φ. In matematichese:

Nel caso del pozzo di San Patrizio possiamo notare che i due diametri interno ed esterno fanno parte di una sequenza numerica che – attenzione – non è quella di Fibonacci, ma che ha la stessa proprietà fondamentale della sequenza: notiamo infatti che 12,20 (il diametro esterno) è circa uguale a 4,65 (diametro interno) + 7,5. Infatti, il calcolo di Cencioni ricalca proprio la definizione di una successione definita come quella di Fibonacci, ma che non parte da 0 e 1 come invece accade per definizione per la famosa successione. Vediamo come:

• partendo dal diametro interno 4,65, otteniamo il numero 7,5 moltiplicandolo per φ (approssimato a 1,618). In questo mondo, abbiamo appena definito due termini consecutivi di una serie simile a quella di Fibonacci, dove il rapporto tra due elementi successivi è proprio φ;
• a questo punto, sommano tra loro 4,65 e 7,5, otteniamo 12,17, un'approssimazione del diametro esterno. In questo modo, abbiamo definito un nuovo termine della nostra successione seguendo proprio le regole della sequenza di Fibonacci secondo cui la somma di due termini consecutivi definisce il termine successivo della serie.

Insomma, possiamo dire che le dimensioni architettoniche che caratterizzano il pozzo di San Patrizio, se manipolate adeguatamente, ci possono portare a collegamenti con la sezione aurea e con la sequenza di Fibonacci. Questa manipolazione, però, è ben lontana dall'essere una diretta applicazione della sezione aurea, che rappresenta dei precisi canoni armonici. Non possiamo affermare con certezza che Sangallo, l'autore del pozzo, fosse conscio delle proporzioni "semi-auree" che stava utilizzando e che il rapporto tra i due diametri fosse intenzionalmente 1 + φ.

In ogni caso, con un po' di fiducia nella bellezza della matematica e della nostra percezione della "perfezione", possiamo pensare che consciamente o inconsciamente siamo portati a ricercare la sezione aurea anche dove non c'è!