Se n atleti corrono a velocità costanti, ognuno resterà solo: il problema matematico del corridore solitario

Immaginiamo una pista circolare lunga 1 Km percorsa da un certo numero di corridori che amano correre da soli per cui ognuno corre con una propria velocità, costante, diversa da quella di tutti altri: riusciranno tutti i corridori, prima o poi, a ritrovarsi a correre in solitaria almeno per un pochino? Questo è il problema matematico del corridore solitario, e se il numero dei corridori è inferiore o uguale a 10 la risposta è sicuramente affermativa ma, stando alla congettura del corridore solitario, dovrebbe esserlo anche per numeri più grandi. Spieghiamo il problema e vediamo fino a che punto siamo con la congettura e perché possiamo, almeno (o solo) in parte, chiamarla teorema.

Cos’è il problema matematico del corridore solitario

La situazione del problema del corridore solitario è questa:

Ci sono un certo numero di corridori che iniziano a correre tutti insieme lungo una pista circolare, solo che ciascuno ha una propria velocità, costante, diversa da tutte le altre e ci si chiede se ogni corridore riuscirà, prima o poi, a correre in solitaria per almeno qualche istante.

Quello che si genera è uno scenario piuttosto complesso (come mostrato nel video sotto) in cui inizialmente il corridore più veloce si allontana dal più lento e gli altri lo seguono finché non iniziano i doppiaggi: a quel punto i corridori più veloci si avvicinano ai più lenti, per superarli e poi riallontanarsi, dando vita ad una seria di avvicendamenti in cui ciascun corridore fatica a rimanere da solo.

In questo scenario ci si chiede se tutti i corridori riusciranno, prima o poi, a rimanere da soli almeno per un po'. La risposta sembrerebbe essere affermativa, almeno secondo la congettura del corridore solitario che dice che

Ciascun corridore, prima o poi, si ritroverà almeno una volta ad essere abbastanza distante da ogni altro corridore.

Ma cosa si intende per abbastanza distante? In teoria possiamo usare diversi criteri per stabilire a che distanza due corridori possono essere considerati lontani, ma per questa congettura si usa un criterio compatibile con l'idea di un’equa spartizione della pista. Ad esempio, se i corridori fossero e se in un dato istante fossero disposti tutti equidistanti (come nella figura sotto) si troverebbero ognuno ad avere a disposizione 1/4 di pista libera davanti a se ed 1/4 di pista libera dietro di se. Questa è una situazione ottimale in cui tutti i corridori possono essere considerati abbastanza soli.

Chiaramente più aumenta il numero dei corridori e più diminuisce la porzione di pista che ciascuno può sperare di avere a disposizione per correre in solitaria ma, seguendo il ragionamento dell’equa suddivisione, se abbiamo n corridori possiamo considerare due corridori abbastanza distanti tra loro quando si trovano ad una distanza corrispondente alla lunghezza della pista divisa per n, in matematichese 1/n della pista.

La congettura, allora, può essere espressa così

Dati n corridori che corrono in una pista circolare di lunghezza 1, prima o poi ciascun corridore si ritroverà almeno una volta distante almeno 1/n da ogni altro corridore.

La dimostrazione della congettura e gli sviluppi recenti

Questa congettura fu elaborata in termini astratti dal matematico tedesco Jörg Michael Wills negli anni ‘60 e venne riformulata così come la conosciamo, facendo riferimento ai corridori, da un gruppo di matematici nel 1998 di diverse nazionalità (W. Bienia, L. Goddyn, P. Gvozdjak, A. Sebő e M. Tarsi). Il motivo per cui continuiamo a chiamarla congettura è proprio perché non siamo ancora certi che sia vera, altrimenti la chiameremmo teorema. In matematica una congettura è un’affermazione che pensiamo sia vera, per la quale non abbiamo dimostrazioni né controprove (o controesempi). In questo caso, però, potremmo parlare di una congettura che è parzialmente un teorema, dato che è stata dimostrata per un numero di corridori fino 10.

In particolare, gli avanzamenti più recenti risalgono alla fine del 2025 e sono dovuti a Tanupat Trakulthongchai, uno studente dell’Università di Oxford (UK) che, con l'ausilio del computer, è riuscito a dimostrare la congettura per 9 e 10 corridori. Tanupat Trakulthongchai si è ispirato al lavoro del matematico francese M. Rosenfeld che solo pochi mesi prima, sempre nel 2025, aveva dimostrato la validità della congettura per n=8.

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