I numeri immaginari sono entità che al quadrato danno un risultato negativo: a cosa servono in matematica

Cosa sono i numeri immaginari? Sono quei numeri che, elevati al quadrato, danno un risultato negativo. Questi numeri, insieme ai numeri reali, compongono i numeri complessi e se vi sembra strano che il quadrato di un numero possa essere negativo siete in buona compagnia: i numeri immaginari, usati per la prima volta nel XVI secolo da Cardano per risolvere delle equazioni, estendendo l'insieme dei numeri reali e si ottengono moltiplicando un numero reale per l'unità immaginaria, indicata con la lettera i, sono stati completamente accettati come numeri solo nel XIX secolo. Vediamo come funzionano questi numeri, perché sono stati inventati e quando sono stati accettati a pieno dai matematici.

Cosa sono e quando un numero è immaginario

Quanto vale la radice quadrata di 4? Vale 2, visto che il quadrato di 2 è 2 × 2 = 4. E la radice quadrata di 9? Vale 3 poiché 3 × 3 = 9. Ma quanto vale la radice quadrata del numero negativo -1? Possiamo ipotizzare che valga -1, ma se proviamo a moltiplicare -1 × -1 otteniamo 1, e lo stesso accade se proviamo la stessa operazione con 1.

Per quanto ci sforziamo non riusciamo a trovare un numero che elevato al quadrato dia come risultato -1, o qualsiasi altro numero negativo, questo perché, per la regola dei segni, comunque moltiplichiamo un numero per se stesso il risultato sarà sempre positivo.

A questo punto ci viene in aiuto un’invenzione dei matematici, ovvero il numero immaginario i che deve il nome al matematico Eulero del XVIII secolo definito come:

quel numero che elevato al quadrato fa -1, ovvero i × i = -1, in altre parole i è la radice quadrata di -1.

A partire da questo numero si definiscono i numeri immaginari che sono tutti quei

numeri che elevati al quadrato danno un come risultato un numero reale – ovvero un numero decimale – negativo.

Questi numeri si possono costruire a partire dal numero i  moltiplicandolo per tutti i possibili numeri reali. Ad esempio 2i (che sarebbe 2 × i), 3i, -5i, 2.7i sono tutti numeri immaginari.

Vediamo cosa succede se proviamo a calcolare il quadrato di uno di questi numeri usando le normali regole delle operazioni:

2i × 2i = 2 × i × 2 × i = 2 × 2 × i × i = 4 × i × i = 4 × (-1) = -4

Come possiamo vedere il quadrato di 2i è -4, quindi la radice quadrata di -4 è proprio 2i.

Le operazioni tra questi numeri si fanno usando le normali regole dell’algebra trattando, in parole povere, la lettera i come se fosse un’unità di misura e ricordandosi che i × i = -1.

Nel caso dell'addizione e della sottrazione tra due numeri immaginari il risultato è anch'esso un numero immaginario ad esempio 4i + 8i = 12i e 5i – 3i = 2i. Al contrario nel caso della divisione e della moltiplicazione si ottengono semplici numeri reali, ad esempio  6i ÷ 3i = 2 e 5i × 3i = 15 × i × i = 15 × (-1) = -15.

Quando invece sommiamo numeri immaginari a numeri reali otteniamo quelli che vengono chiamati numeri complessi (che contengono sia i numeri reali che quelli immaginari), ad esempio 5 + 3i è un numero complesso e si dice che la sua parte immaginaria è 3, mentre 5 è la sua parte reale. I numeri complessi sono di un'estensione dei numeri reali che include i numeri immaginari, un po' come i numeri razionali sono l'estensione dei numeri naturali (quelli che si usano per contare) che include anche le frazioni.

Perché esistono e che servono queste entità matematiche

"L'impiego dei numeri immaginari spazia dall'estrazione delle radici quadrate di quantità negative fino alla formulazione matematica necessaria per descrivere l'elettromagnetismo, l'elettrotecnica, la fluidodinamica e i sistemi quantistici. Ma da dove arrivano i numeri immaginari e quindi i complessi? E perché sono stati inventati?

Nel XVI secolo il matematico italiano Girolamo Cardano si imbatté in questo tipo di numeri nel tentativo di trovare due numeri che sommati tra loro facessero 10 e moltiplicati tra loro facessero 40. Cardano trovò che la soluzione era data due numeri, il numero formato da 5 sommato alla radice quadrata di -15 ed il numero formato da 5 meno la radice quadrata di -15, dove con “radice quadrata di -15” si intende “quel numero che elevato al quadrato fa -15”.

Questi due numeri sommati tra loro danno 10 e moltiplicati tra loro danno 40, si può fare il calcolo facendo finta che la radice quadrata di -15 sia un numero come tutti gli altri per quanto riguarda le regole delle operazioni.

Cardano vedeva le radici quadrate di numeri negativi come artifici utili per risolvere problemi matematici, ma non applicabili al mondo reale, come testimoniato dalla sua affermazione:

“Così progredisce la sottigliezza aritmetica il cui fine, come si dice, è tanto raffinato quanto inutile”.

Nonostante ciò Cardano si ritrovò a dover usare i numeri immaginari anche per risolvere le equazioni di terzo grado, utilizzandoli quindi come strumento per portare un contributo importante all’avanzamento delle conoscenze matematiche, in quel caso i numeri immaginari si rivelarono utili, anche se non nel senso concreto del termine.

I numeri immaginari, che devono il loro nome a Cartesio (XVII secolo) che credeva fossero solo numeri che si potevano immaginare ma che non esistevano nella realtà, sono quindi nati come una sorta di artificio utile per risolvere equazioni, ma non sono stati pienamente accettati dai matematici per diversi secoli. L’illustre fisico, e matematico, Isaac Newton accostava questi numeri a quei problemi che non avessero una soluzione fisicamente o geometricamente reale, mentre il suo altrettanto illustre rivale, Gottfried Wilhelm von Leibniz, si riferì al numero i come a

quell’anfibio fra essere e non-essere che chiamiamo radice immaginaria dell’unità negativa

I numeri complessi, e con loro i numeri immaginari, trovarono piena accettazione tra i matematici solo all'inizio del XIX secolo quando venne elaborato, e si diffuse, una modo di rappresentarli sul piano cartesiano (grazie al lavoro del danese Caspar Wessel, dello svizzero Jean-Robert Argand, e del tedesco Carl Friedrich Gauss). Da allora questi numeri sono entrati a far parte a pieno titolo della matematica e di altre scienze più concrete, come la fisica, tanto che il numero i si trova anche nell'identità di Eulero, che viene considerata l’equazione più bella del mondo (vedi figura sotto), e che è legata allo studio di fenomeni concreti come le crescite esponenziali ed i fenomeni ondulatori.

0 è l'unico numero che appartiene contemporaneamente sia all'insieme dei numeri reali che a quello dei numeri immaginari.

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