Con paradosso del cammello, rompicapo del cammelliere, "magia" del dodicesimo cammello o enigma dell’eredità, ci si riferisce a una storia probabilmente di origine araba che punta a far riflettere sul tema della logica strategica e richiede una soluzione puramente matematica. Non solo, dall’economista italiano Stefano Zamagni – che ne ha parlato in un video piuttosto noto – questo paradosso è presentato come uno degli esempi in cui la “giustizia” non garantisce situazioni di pace, ma rende necessaria l’aggiunta di un “dono”. Per chiarire questi termini vediamo come si formula il paradosso, qual è la sua soluzione e quale insegnamento possiamo trarre da questo racconto.
La formulazione del rompicapo
Un cammelliere sul punto di morte scrive il proprio testamento per lasciare i propri averi ai suoi tre figli. L’eredità è composta (nella maggior parte delle versioni di questo paradosso) da 11 cammelli e nel testamento è indicato che, per motivi a noi sconosciuti:
- al figlio maggiore va 1/2 della sua eredità;
- al figlio di mezzo va 1/4 della sua eredità;
- al figlio minore va 1/6 della sua eredità.
Chiaramente, essendo 11 un numero dispari, il primo dei tre fratelli presenta subito agli altri un problema: non può prendersi la metà dei cammelli (ovvero 5 cammelli e mezzo) senza ucciderne uno tagliandolo a metà. Ed ecco che iniziano i litigi.
Così i tre fratelli si recano da un giudice che si ferma per un po’ a riflettere sul problema e poi decide di lasciare loro anche il suo cammello. Il giudice dice loro che devono provare a dividere l’eredità aggiungendo il suo cammello al totale (che diventa di 12 cammelli) e che, in caso fosse possibile, gli restituiranno il cammello più avanti.
I tre fratelli allora tornano a casa e riprendono le divisioni sulla base del nuovo totale ovvero di 12 cammelli:
- al primo vanno 12/2 cammelli, quindi 6;
- al secondo vanno 12/4 cammelli, quindi 3;
- al terzo vanno 12/6 cammelli, quindi 2.
Facendo le somme dei cammelli che arrivano effettivamente a ognuno dei figli si ha che 6 + 3 + 2 = 11 cammelli, proprio quelli che il padre gli aveva lasciato in eredità. In questo modo il cammello aggiuntivo viene riportato al giudice.
Ma cosa è successo esattamente? Se siete rimasti un po’ interdetti dalla lettura di questo racconto sappiate che è normale ed è proprio per questo motivo che è diventato noto anche come la “magia” del dodicesimo cammello. È davvero stato rispettato il volere del padre o i tre fratelli si sono solo illusi di averlo fatto? Analizziamo il paradosso.
Analisi dell'enigma del cammelliere
Per capire come funziona questo paradosso ripartiamo dai dati iniziali: 1/2 , 1/4 e 1/6 sono le tre proporzioni che dovrebbero seguire i figli del cammelliere per la spartizione dell'eredità.
C’è una cosa che non deve sfuggirci però: 1/2 + 1/4 + 1/6 non fa 1!
Le tre frazioni se sommate non danno come risultato l’unità: poiché 12 è il minimo comune multiplo, è possibile riscrivere 1/2 come 6/12, 1/4 come 3/12, 1/6 come 2/12 e poi sommarli. Quindi 6/12 + 3/12 + 2/12 = 11/12 che è poco meno di 1 (circa 0,9166…).
Detto questo quindi si potrebbe pensare che il problema stia all’inizio, proprio nel testamento del cammelliere che – in qualche modo – imposta male i calcoli da fare perché non divide tutta l’eredità, ma prende in considerazione solo gli 11/12 di tutti i suoi averi.
A dir la verità però è possibile suddividere il totale secondo le proporzioni indicate dal padre anche se c’è qualcosa che il padre non spartisce tra i fratelli. C’è ancora 1/12 di eredità che manca da distribuire: manca esattamente 1/12 di 11 cammelli. 11 cammelli è quindi il totale e se lo moltiplico per la quantità avanzata (1/12) ottengo 11/12.
Ri-facciamo i conti tenendo a mente questa cosa. Allora, secondo quanto previsto dal padre:
– al primo figlio devono andare la metà dei cammelli quindi 11 cammelli diviso 2, ovvero 11/2;
– al secondo figlio devono andare un quarto dei cammelli, quindi 11 cammelli diviso 4, ovvero 11/4;
– al terzo figlio devono andare un sesto dei cammelli, quindi 11 cammelli diviso 6, ovvero 11/6.
Dopodiché vanno distribuiti anche gli 11/12 di cammello "avanzati" quindi:
- al primo figlio va 11/12 di cammello diviso 2, da sommare alla quota prevista dal padre, cioè 11/2;
- al secondo figlio va 11/12 di cammello diviso 4, da sommare a 11/4;
- al terzo figlio va 11/12 di cammello diviso 6, da sommare a 11/6.
Ora qui però si ripresenta il problema: anche sommando la quantità dovuta alla nuova spartizione, poiché le frazioni 1/2, 1/4 e 1/6 non danno un’unità, resta comunque un margine sempre più piccolo e microscopico da dover distribuire.
Infatti vediamo che nel calcolo il totale dei cammelli si avvicina a 11 ma non è uguale a 11, resta sempre un ulteriore avanzo (in questo caso di circa 0,0765 che sono pezzi di cammello ancora da redistribuire).
Si genererà ogni volta un avanzo dell'avanzo, dovuto al fatto che le frazioni indicate all'inizio non ricoprono l'intera eredità. Questa dinamica di distribuzione, avanzo e successiva re-distribuzione, si ripete all’infinito. Bisogna calcolare somme infinite di quantità che diventano sempre più piccole.
In matematica è possibile fare tutte queste infinite operazioni con uno strumento solo, è possibile scrivere la quantità di eredità che dovrebbe prendere ogni figlio tramite l’aiuto di quello che in analisi si chiama serie geometrica infinita convergente.
Soluzione del paradosso del cammello
Come abbiamo visto, in matematica è possibile scrivere ciò che riceverà ognuno dei figli tramite l’ausilio di una serie geometrica convergente (una somma infinita di numeri il cui risultato tende a una quantità intera che è molto precisa perché somma tantissime microscopiche quantità). Nello specifico la serie da tenere in considerazione è così scritta: quantità prevista dal padre per ognuno dei figli moltiplicata per la formula (la serie) nell'immagine qui sotto – che equivale esattamente a 12/11.
Questo vuol dire che:
- al primo figlio va 11/2 (la quantità prevista dal padre) moltiplicato per 12/11 (ricavato dalla formula appena vista), ovvero esattamente 6;
- al secondo figlio va 11/4 moltiplicato per 12/11, ovvero esattamente 3;
- al terzo figlio va 11/6 moltiplicato per 12/11, ovvero esattamente 2.
Il ruolo del giudice nel racconto
Ecco allora che il giudice, tramite il suo “dono” (che in realtà torna indietro al mittente e quindi non è esattamente un dono), è riuscito quanto più possibile a far rispettare la volontà del defunto cammelliere e a ristabilire la pace, anche rispettando i calcoli matematici. Come ha fatto? Ha fornito uno strumento ai tre fratelli che potesse semplificare i calcoli, evitando loro di utilizzare strumenti matematici più complessi come le successioni geometriche! Senza il dono del giudice infatti i tre figli del cammelliere avrebbero dovuto fare tutti i calcoli che abbiamo visto fino ad ora, mentre con il dodicesimo cammello il giudice ha reso il numero di partenza divisibile e più "maneggiabile".
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