Misurare la circonferenza della Terra con un bastone: la storia e l’esperimento di Eratostene

La Terra ha una forma ad oggi ben nota, quella di un geoide, cioè un solido simile a una sfera bitorzoluta. Quando cerchiamo di rappresentarla in un mappamondo, però, ci conviene disegnarla come un'ellissoide, cioè un enorme ovale tridimensionale con circonferenza equatoriale di 40.075 km e circonferenza polare di 39.942 km. Queste dimensioni al giorno d'oggi sono facili da stabilire in modo anche estremamente preciso grazie ai satelliti. Ma quello che non tutti sanno è che già nel 240 a.C. il matematico, filosofo e astronomo Eratostene di Cirene riuscì a dimostrare che la Terra è sferica misurandone la circonferenza con un arguto esperimento usando solo un bastone (chiamato “gnomone”), un’ombra e la conoscenza della geometria! Le sue misurazioni, già allora ebbero un errore di solo poche centinaia di chilometri. Ma com'è possibile?

Vediamo in questo articolo come strutturò l'esperimento che rese possibile la sua impresa, tanto semplice quanto geniale.

Chi è Eratostene: l’uomo che studiò le dimensioni della Terra

Eratostene di Cirene, nato attorno al 276 a.C. nell’attuale Libia, fu un matematico, poeta, storico, filosofo, astronomo e geografo, considerato tra i più brillanti studiosi della sua epoca. Fu bibliotecario della Biblioteca di Alessandria d’Egitto, il più grande centro del sapere antico, dove ebbe accesso a conoscenze provenienti da tutto il mondo e collaborò con Archimede. La necessità di conoscere con precisione la misura del meridiano terrestre nacque probabilmente dal bisogno di realizzare carte geografiche e soprattutto nautiche del mondo allora conosciuto, per facilitare i commerci e la navigazione. I risultati di questo studio estremamente accurato sulla misurazione delle dimensioni terrestri furono raccolti nell’opera “Sulla misura della Terra”, purtroppo andata perduta. Il racconto che è arrivato fino a noi è la versione semplificata e divulgativa riportata da Cleomede, astronomo e matematico greco.

Come avvenne la misurazione con il bastone e la sua ombra: l’esperimento di Eratostene

Negli scritti che sono arrivati fino a noi, Cleomede racconta che, per strutturare il suo esperimento, Eratostene partì da tre assunzioni:

• innanzi tutto, al tempo si sapeva che la Terra era sferica – non un ellissoide come sappiamo oggi, per quello sarebbe dovuto arrivare Isaac Newton – perché l’aveva già dimostrato Aristotele nel IV secolo a.C.;
• poi, sapeva che a Siene, l'odierna città egiziana Assuan, il Sole riesce ad illuminare il fondo di pozzi profondissimi attorno a mezzogiorno del solstizio d’estate. In quel momento, infatti, il Sole si trova esattamente allo Zenit, cioè è perfettamente verticale. Di conseguenza, un bastone piantato verticalmente su un terreno pianeggiante – come quelli delle meridiane, gli gnomoni – non avrebbe proiettato alcuna ombra;
• infine, secondo le sue conoscenze, Alessandria d’Egitto si trovava sullo stesso meridiano di Siene a 5000 stadi – l’unità di misura dell’epoca, pari a 157,5 m – di distanza. Assumere che si trovassero sullo stesso meridiano garantiva che il mezzogiorno nelle due città fosse in contemporanea e non ci fossero problemi di “fuso orario”.

I risultati dell’esperimento: la lunghezza della circonferenza terrestre è di circa 40 000 km

Eratostene cominciò col misurare quanto fosse lunga l’ombra del bastone di una meridiana ad Alessandria d'Egitto esattamente a mezzogiorno del solstizio d’estate. Usando questa misurazione e le proprietà dei triangoli rettangoli, ricavò che l’angolazione dei raggi solari ad Alessandria era di 7 gradi e 12 primi. Dato che il sole è così lontano da poter considerare i suoi raggi paralleli tra loro, anche l'angolo tra il centro della Terra, Alessandria e Siene – quello indicato in giallo, α, nella figura sopra – misura proprio 7 gradi e 12 primi. A questo punto, Eratostene si rese conto che poteva usare questa misura per stimare la lunghezza della circonferenza. Poichè 7 gradi e 12 primi corrispondono esattamente a 1/50 di un angolo giro (360°), anche la distanza tra Siene e Alessandria doveva corrispondere a 1/50 della circonferenza terrestre. Eratostene moltiplicò quindi la distanza tra Siene e Alessandria, pari a 5000 stadi, per 50, ottenendo la lunghezza della circonferenza terrestre di 250.000 stadi, circa 39.375 km. Questa misurazione rappresenta la più riuscita e famosa tra le quelle fatte nell’antichità.

Scritti successivi riportano come risultato anche 252.000 stadi, valore probabilmente scelto perché molto più comodo per fare i conti. 252.000, infatti, è divisibile per tutti i numeri naturali da 1 a 10.

Gli errori nella misurazione: le imprecisioni di Eratostene

Questo metodo, incredibilmente semplice e ingegnoso, non arriva al risultato esatto perché contiene un po’ di imprecisioni. Innanzi tutto, come sappiamo, la Terra non è perfettamente sferica, ma assomiglia più ad un ellissoide.  Poi, la distanza tra Siene e Alessandria, stimata a 5000 stadi, era stata probabilmente calcolata in base ai giorni di viaggio necessari per per percorrerla piuttosto che da una misurazione esatta, risultando quindi approssimativa. Inoltre, oggi sappiamo che le due città non si trovano sullo stesso meridiano e che, quindi, il mezzogiorno del solstizio d’estate non avviene in contemporanea. Infine, Siene è situata a 72 km di distanza dal Tropico del Cancro, quindi il momento dello zenit non è esattamente a mezzogiorno, come sarebbe se fosse sul tropico.

Nonostante questo, il risultato ottenuto è sorprendentemente vicino a quello reale ed è incredibile vedere come sia riuscito ad ottenerlo con strumenti semplicissimi e grandi intuizioni.

Per approfondire abbiamo realizzato un video ad hoc sull'argomento:

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